Ressonância em tubos sonoros: fórmulas, harmônicos e exercícios

A ressonância em tubos sonoros explica por que flautas, clarinetes, tubos de órgãos, apitos e até garrafas produzem notas musicais. Quando uma coluna de ar é excitada com uma frequência adequada, as ondas sonoras refletidas nas extremidades podem se superpor e formar uma onda estacionária. Nessa situação, o som se torna mais intenso e a coluna de ar vibra de maneira organizada.

O assunto reúne três ideias centrais: ressonância, ondas estacionárias e harmônicos. Para resolver problemas, também usamos a relação fundamental das ondas:

v = λ · f

Em que v é a velocidade do som no ar, em m/s; λ é o comprimento de onda, em m; e f é a frequência, em hertz (Hz). Neste artigo, vamos considerar tubos cilíndricos e desprezar, inicialmente, a chamada correção de extremidade.

O que é ressonância?

Todo sistema capaz de vibrar possui frequências naturais. Se ele recebe uma perturbação periódica cuja frequência se aproxima de uma dessas frequências naturais, a amplitude da vibração pode aumentar bastante. Esse fenômeno é chamado de ressonância.

Em um tubo sonoro, a fonte pode ser a vibração dos lábios, uma palheta, o sopro sobre uma abertura ou uma perturbação inicial do ar. A onda sonora percorre o tubo, reflete-se nas extremidades e retorna. Para determinadas frequências, as ondas incidente e refletida formam um padrão estacionário.

É importante não confundir intensidade com frequência. A ressonância aumenta principalmente a amplitude e, portanto, pode tornar o som mais intenso. A frequência está associada à altura do som, isto é, à percepção de grave ou agudo.

Nós e ventres em uma coluna de ar

Em uma onda estacionária, há pontos que permanecem praticamente imóveis e pontos que oscilam com amplitude máxima.

Nó: ponto de amplitude mínima ou nula.
Ventre: ponto de amplitude máxima.

Nos tubos sonoros, é necessário distinguir a vibração das partículas de ar da variação de pressão. Em uma extremidade aberta, o ar pode movimentar-se com maior liberdade. Por isso, considera-se geralmente um ventre de deslocamento. Em uma extremidade fechada, o ar não pode deslocar-se através da parede, formando um nó de deslocamento.

Essa condição nas extremidades determina quais comprimentos de onda podem existir no tubo e, consequentemente, quais frequências serão produzidas.

Tubo aberto nas duas extremidades

Em um tubo aberto, as duas extremidades são livres. O modo fundamental, ou primeiro harmônico, apresenta um ventre de deslocamento em cada extremidade e um nó no centro. Geometricamente, o comprimento do tubo corresponde à metade do comprimento de onda:

L = λ₁/2

Logo:

λ₁ = 2L

Substituindo em v = λf, obtemos a frequência fundamental:

f₁ = v/(2L)

O tubo aberto pode produzir todos os harmônicos inteiros:

f_n = n · v/(2L), com n = 1, 2, 3, 4, ...

Harmônico	Comprimento de onda	Frequência
1º	λ₁ = 2L	f₁ = v/(2L)
2º	λ₂ = L	f₂ = 2f₁
3º	λ₃ = 2L/3	f₃ = 3f₁
n-ésimo	λ_n = 2L/n	f_n = nf₁

Flautas e alguns tubos de órgãos podem ser aproximados por tubos abertos, embora a geometria real, os orifícios laterais e a forma da embocadura influenciem o resultado.

Tubo fechado em uma extremidade

Um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra apresenta um nó de deslocamento no lado fechado e um ventre de deslocamento no lado aberto. No modo fundamental, a distância entre o nó e o ventre corresponde a um quarto do comprimento de onda:

L = λ₁/4

Assim:

λ₁ = 4L

e a frequência fundamental é:

f₁ = v/(4L)

Para esse tipo de tubo, apenas os harmônicos ímpares aparecem no modelo ideal:

f_n = n · v/(4L), com n = 1, 3, 5, 7, ...

Harmônico permitido	Comprimento de onda	Frequência
1º	λ₁ = 4L	f₁ = v/(4L)
3º	λ₃ = 4L/3	f₃ = 3f₁
5º	λ₅ = 4L/5	f₅ = 5f₁
n-ésimo permitido	λ_n = 4L/n	f_n = nf₁

Os harmônicos pares não satisfazem simultaneamente as condições de nó na extremidade fechada e ventre na extremidade aberta. Por isso, no modelo ideal, eles não são permitidos. A clarineta é frequentemente usada como exemplo aproximado de instrumento baseado em uma coluna de ar fechada em uma extremidade. (hyperphysics.phy-astr.gsu.edu)

Comparação entre tubos abertos e fechados

Característica	Tubo aberto-aberto	Tubo fechado-aberto
Extremidades	Duas abertas	Uma aberta e uma fechada
Modo fundamental	L = λ/2	L = λ/4
Frequência fundamental	f₁ = v/(2L)	f₁ = v/(4L)
Harmônicos	Todos: 1, 2, 3, 4...	Apenas ímpares: 1, 3, 5...
Para mesmo L	Frequência fundamental maior	Frequência fundamental menor

Para tubos do mesmo comprimento, um tubo fechado em uma extremidade tem frequência fundamental igual à metade da frequência fundamental de um tubo aberto nas duas extremidades. Isso ocorre porque, no modo fundamental, o tubo fechado comporta um comprimento de onda quatro vezes maior.

Exemplo resolvido 1: tubo aberto

Um tubo aberto nas duas extremidades possui comprimento de 0,80 m. Considere a velocidade do som igual a 340 m/s. Determine a frequência fundamental e a frequência do terceiro harmônico.

Passo 1: frequência fundamental

Para um tubo aberto:

f₁ = v/(2L)

f₁ = 340/(2 · 0,80) = 340/1,60 = 212,5 Hz

Passo 2: terceiro harmônico

f₃ = 3f₁ = 3 · 212,5 = 637,5 Hz

Resposta: a frequência fundamental é aproximadamente 213 Hz, e o terceiro harmônico tem frequência de aproximadamente 638 Hz.

Exemplo resolvido 2: tubo fechado

Um tubo fechado em uma extremidade tem 0,50 m de comprimento. Use v = 340 m/s. Calcule a frequência fundamental e a frequência do quinto harmônico permitido.

Para o tubo fechado:

f₁ = v/(4L) = 340/(4 · 0,50) = 340/2,0 = 170 Hz

O quinto harmônico permitido é:

f₅ = 5f₁ = 5 · 170 = 850 Hz

Resposta: a frequência fundamental é 170 Hz e o quinto harmônico tem frequência 850 Hz. O segundo e o quarto harmônicos não aparecem no modelo ideal desse tubo.

Velocidade do som e temperatura

A velocidade do som no ar depende da temperatura e de outras condições do meio. Em exercícios escolares, é comum receber um valor como 340 m/s ou 343 m/s. Em temperatura próxima de 20 °C, um valor aproximado de 343 m/s é frequentemente utilizado; entretanto, deve-se sempre usar o valor fornecido no enunciado.

Se a velocidade do som aumentar, mantendo-se o comprimento do tubo, as frequências de ressonância também aumentarão, pois:

f ∝ v

Se o tubo ficar mais comprido, a frequência diminuirá:

f ∝ 1/L

Essa é a razão pela qual instrumentos de cordas e de sopro produzem sons mais graves quando aumenta o comprimento efetivo da região vibrante. A relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência é essencial para essa análise. (hyperphysics.phy-astr.gsu.edu)

Correção de extremidade

O modelo escolar considera que a extremidade aberta está exatamente na boca do tubo. Na prática, uma pequena região de ar do lado de fora também participa da oscilação. Por isso, o comprimento acústico efetivo pode ser um pouco maior que o comprimento geométrico.

Para um tubo cilíndrico com uma extremidade aberta, uma aproximação comum é acrescentar uma correção proporcional ao raio do tubo, frequentemente estimada como cerca de 0,6 vezes o raio para uma extremidade isolada:

L_efetivo ≈ L + 0,6r

A correção depende da geometria, do raio, da presença de flanges, de outras extremidades e da forma como o tubo é excitado. Em problemas de Ensino Médio, ela só deve ser utilizada quando o enunciado solicitar ou fornecer os dados necessários. (hyperphysics.phy-astr.gsu.edu)

Exemplos cotidianos

Garrafa soprada: a coluna de ar dentro da garrafa ressoa, produzindo uma nota. Ao adicionar água, o comprimento da coluna de ar diminui e a frequência tende a aumentar.
Apito: o jato de ar excita uma coluna de ar que possui frequências naturais determinadas pela geometria do apito.
Flauta: a abertura ou o fechamento de orifícios altera o comprimento efetivo da coluna de ar.
Clarineta: seu comportamento se aproxima do de um tubo fechado em uma extremidade, favorecendo a série de harmônicos ímpares no modelo simplificado.
Tubos de PVC: tubos de comprimentos diferentes podem produzir notas diferentes quando excitados com segurança por sopro, sem uso de fontes elétricas ou materiais perigosos.

Experimento seguro: garrafas e água

Materiais: duas ou três garrafas plásticas limpas, água e uma régua. Não é necessário utilizar chama, rede elétrica, alta tensão ou substâncias perigosas.

Coloque diferentes quantidades de água nas garrafas.
Sopre suavemente sobre a abertura, sem encostar a boca na garrafa.
Compare as alturas dos sons produzidos.
Relacione a frequência percebida ao comprimento da coluna de ar acima da água.

Quanto menor for a coluna de ar, maior tende a ser sua frequência de ressonância no modelo simplificado. A experiência deve ser interpretada qualitativamente, pois a garrafa não é um tubo cilíndrico ideal e a abertura modifica a correção de extremidade.

Exercícios autorais

Um tubo aberto nas duas extremidades possui 0,60 m de comprimento. Adotando v = 342 m/s, determine sua frequência fundamental.
Um tubo aberto tem frequência fundamental de 250 Hz. Qual é a frequência do quarto harmônico?
Um tubo fechado em uma extremidade tem comprimento de 0,85 m. Use v = 340 m/s e calcule a frequência fundamental.
Um tubo fechado apresenta frequência fundamental de 120 Hz. Determine o terceiro e o quinto harmônicos permitidos.
Dois tubos têm o mesmo comprimento: um é aberto nas duas extremidades e o outro é fechado em uma extremidade. Compare suas frequências fundamentais e justifique.
Uma coluna de ar em um tubo aberto tem comprimento de 0,40 m. Determine o comprimento de onda e a frequência do segundo harmônico, usando v = 320 m/s.

Gabarito

285 Hz. f₁ = 342/(2 · 0,60).
1000 Hz. f₄ = 4 · 250.
100 Hz. f₁ = 340/(4 · 0,85).
360 Hz e 600 Hz. f₃ = 3 · 120; f₅ = 5 · 120.
O tubo aberto tem o dobro da frequência fundamental. Para o aberto, f = v/(2L); para o fechado, f = v/(4L).
λ₂ = 0,40 m e f₂ = 800 Hz. No tubo aberto, λ₂ = L e f₂ = v/L.

Perguntas frequentes

1. Todo tubo sonoro produz todos os harmônicos?

Não. Um tubo aberto nas duas extremidades pode produzir, no modelo ideal, todos os harmônicos inteiros. Um tubo fechado em uma extremidade produz principalmente os harmônicos ímpares.

2. O que acontece se o tubo ficar mais comprido?

A frequência fundamental diminui, pois ela é inversamente proporcional ao comprimento. O som tende a ficar mais grave.

3. Nó e ventre indicam pressão ou deslocamento?

Depende da grandeza analisada. Em uma extremidade fechada, há nó de deslocamento, mas a variação de pressão pode ser máxima. Por isso, é importante identificar qual representação está sendo usada.

4. A velocidade do som é sempre 340 m/s?

Não. 340 m/s é uma aproximação comum em exercícios. A velocidade depende principalmente da temperatura e deve ser fornecida ou estimada de acordo com as condições do problema.

5. Por que uma garrafa com menos ar pode produzir som mais agudo?

Ao diminuir o volume de ar acima da água, diminui-se o comprimento efetivo da coluna vibrante. Como a frequência aumenta quando o comprimento diminui, o som tende a ficar mais agudo.

Mini-quiz

Qual é a relação entre comprimento e comprimento de onda no modo fundamental de um tubo aberto?
Resposta
L = λ/2, portanto λ = 2L.
Qual é a frequência fundamental de um tubo fechado de comprimento L?
Resposta
f₁ = v/(4L).
Quais harmônicos aparecem em um tubo fechado ideal?
Resposta
Os harmônicos ímpares: 1º, 3º, 5º, 7º e assim por diante.
Se o comprimento de um tubo aberto dobrar, o que ocorre com sua frequência fundamental?
Resposta
A frequência cai pela metade.
Qual equação relaciona velocidade, frequência e comprimento de onda?
Resposta
v = λ · f.

O que estudar depois?

Revisar ondas estacionárias, interferência e reflexão em extremidades.
Estudar intensidade sonora, nível sonoro em decibéis e timbre.
Relacionar tubos sonoros ao efeito Doppler e à acústica de instrumentos musicais.

O ponto mais importante é reconhecer a condição das extremidades antes de escolher a fórmula. Depois, use a relação v = λf, mantenha as unidades no Sistema Internacional e verifique se os harmônicos permitidos são compatíveis com o tipo de tubo.

Referências para estudo

Conteúdo conferido com referências institucionais e educacionais.

Fisica Extraordinaria

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