Os números reais aparecem em situações como medidas, temperaturas, distâncias, preços, resultados de divisões e localização de pontos na reta numérica. Na 1ª série do Ensino Médio, é importante compreender que os números racionais e irracionais formam, juntos, o conjunto dos números reais.
Nas Orientações Curriculares do Espírito Santo para 2026, o tema aparece no capítulo 1 da 1ª série do Ensino Médio, no 1º trimestre. O documento relaciona o estudo a retomadas da habilidade EF09MA02, às habilidades EF09MA04 e EM13MAT313, entre outras. Entre as expectativas de aprendizagem estão reconhecer expansões decimais de números reais, distinguir números racionais e irracionais e localizar números reais, de modo exato ou aproximado, na reta numérica. A habilidade EF09MA02 é originalmente uma habilidade do 9º ano do Ensino Fundamental; no Ensino Médio, ela é retomada e aprofundada em articulação com habilidades próprias da etapa. Essas informações aparecem na página 12 do documento consultado em 20 de outubro de 2026.
1. Como os conjuntos numéricos se organizam
Os principais conjuntos numéricos estudados no Ensino Médio podem ser organizados por inclusão:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- ℕ — números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, ...
- ℤ — números inteiros: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
- ℚ — números racionais: números que podem ser escritos como razão entre dois inteiros, com denominador diferente de zero.
- ℝ — números reais: união dos números racionais com os números irracionais.
Neste texto, adotamos a convenção 0 ∈ ℕ. Alguns materiais didáticos iniciam o conjunto dos naturais em 1, mas isso não altera as relações entre os demais conjuntos.
Assim, todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional e todo racional é real. Porém, existem números reais que não são racionais: os irracionais.
2. O que são números racionais?
Um número é racional quando pode ser escrito na forma:
a/b, em que a e b são números inteiros e b ≠ 0.
O denominador não pode ser zero porque a divisão por zero não é definida. Portanto, expressões como 5/0 não representam números racionais.
Por exemplo:
- 5 é racional, pois 5 = 5/1;
- −3 é racional, pois −3 = −3/1;
- 0,75 é racional, pois 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,333... é racional, pois 0,333... = 1/3;
- 2,181818... é racional, pois apresenta repetição periódica.
Na forma decimal, um número racional pode apresentar:
- decimal finito: a representação termina, como 0,4 ou 2,75;
- dízima periódica: a representação é infinita, mas repete um bloco fixo de algarismos, como 0,272727... ou 1,1666....
Todo número racional possui uma representação decimal que termina ou que se repete periodicamente. Reciprocamente, todo decimal finito ou periódico representa um número racional. Essa caracterização é apresentada em materiais de referência como o OpenStax, em The Real Numbers.
Exemplo resolvido: transformar decimal finito em fração
Escreva 3,125 na forma de fração.
Como há três casas decimais, o denominador inicial será 1000:
3,125 = 3125/1000
Simplificando numerador e denominador por 125:
3125/1000 = 25/8
Logo, 3,125 é um número racional.
Exemplo resolvido: transformar dízima periódica em fração
Escreva 0,363636... como fração.
Seja x = 0,363636.... Como o período possui dois algarismos, multiplicamos por 100:
100x = 36,363636...
Subtraindo a primeira igualdade:
100x − x = 36,363636... − 0,363636...
99x = 36
x = 36/99 = 4/11
Portanto, 0,363636... = 4/11.
3. O que são números irracionais?
Os números irracionais são números reais que não podem ser escritos como uma fração entre dois números inteiros. Sua representação decimal é infinita e não periódica: ela não termina nem repete indefinidamente um bloco fixo de algarismos.
Exemplos conhecidos:
- √2 = 1,41421356...
- √3 = 1,73205080...
- π = 3,14159265...
- e = 2,71828182...
As reticências indicam que a representação continua. Entretanto, não basta um decimal ser infinito para ser irracional. Por exemplo:
0,12121212... é infinito, mas é racional, porque o bloco 12 se repete.
Portanto, o critério correto é:
- decimal que termina: racional;
- decimal infinito periódico: racional;
- decimal infinito não periódico: irracional.
Como justificar que uma sequência decimal é não periódica?
Uma sequência apresentada com reticências só permite classificar o número quando a regra de formação está clara. Por exemplo, considere:
0,101001000100001000001...
Essa escrita representa a concatenação dos blocos:
1, 01, 001, 0001, 00001, ...
Em outras palavras, aparece um algarismo 1, depois um zero e um 1, depois dois zeros e um 1, depois três zeros e um 1, e assim por diante. Os blocos de zeros têm comprimentos cada vez maiores.
Essa sequência não pode ser periódica. De fato, suponha que, a partir de certo ponto, ela tivesse um período fixo de comprimento p. Como existem blocos de zeros com comprimento maior que p, um período que contivesse o algarismo 1 teria de repetir esse 1 dentro de um bloco que, pela própria construção, contém apenas zeros. Se o período fosse formado apenas por zeros, os algarismos 1 deixariam de aparecer, o que também contradiz a regra. Logo, não existe período fixo e o número é irracional.
Raízes quadradas e irracionalidade
Uma raiz quadrada não é automaticamente irracional. É necessário verificar se o radicando é um quadrado perfeito:
- √25 = 5, portanto é racional;
- √49 = 7, portanto é racional;
- √2 é irracional, pois 2 não é quadrado perfeito;
- √10 é irracional, pois 10 não é quadrado perfeito.
Para números naturais positivos, se o radicando não é um quadrado perfeito, sua raiz quadrada é irracional.
4. Números reais na reta numérica
Cada número real corresponde a um ponto da reta numérica. Os números racionais e irracionais ocupam a mesma reta, embora nem todos possam ser escritos exatamente com uma quantidade finita de casas decimais.
Para localizar um número irracional, podemos usar aproximações decimais ou relações geométricas. A localização pode ser aproximada porque, na prática, escrevemos apenas algumas casas decimais do número.
Exemplo: localizar √2
Sabemos que:
1² = 1 e 2² = 4.
Como 2 está entre 1 e 4, então:
1 < √2 < 2
Podemos refinar a estimativa:
- 1,4² = 1,96;
- 1,5² = 2,25.
Como 1,96 < 2 < 2,25, concluímos que:
1,4 < √2 < 1,5
Uma aproximação mais precisa é:
√2 ≈ 1,414
Na reta numérica, √2 deve ser marcado entre 1 e 2, um pouco depois de 1,4.
Construção geométrica de √2
Considere um triângulo retângulo com catetos medindo 1 unidade. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede:
d² = 1² + 1² = 2
Como comprimento é positivo:
d = √2
Essa construção permite transportar o comprimento √2 para a reta numérica. O procedimento pode ser adaptado para construir alguns comprimentos irracionais, especialmente raízes quadradas de números naturais, usando segmentos e o teorema de Pitágoras. Isso não significa que qualquer número irracional seja obtido diretamente por essa construção elementar.
5. Comparando números racionais e irracionais
| Número | Classificação | Justificativa |
|---|---|---|
| −8 | Racional e real | −8 = −8/1 |
| 0,125 | Racional e real | Decimal finito |
| 0,444... | Racional e real | Dízima periódica |
| √36 | Racional e real | √36 = 6 |
| √7 | Irracional e real | 7 não é quadrado perfeito |
| π | Irracional e real | Decimal infinito não periódico |
6. Atenção a erros comuns
Erro 1: considerar todo decimal infinito irracional
Isso é falso. A dízima 0,777... é infinita, mas periódica e racional, pois 0,777... = 7/9.
Erro 2: considerar toda raiz quadrada irracional
Também é falso. √64 = 8, e 8 é racional.
Erro 3: confundir aproximação com igualdade
Escrever √2 ≈ 1,414 significa que 1,414 é uma aproximação de √2. Não significa que √2 seja exatamente igual a 1,414.
Erro 4: esquecer que o denominador não pode ser zero
A expressão 5/0 não representa um número racional, pois a divisão por zero não é definida.
Erro 5: usar reticências sem informar a regra da sequência
A escrita “0,1010010001...” só pode ser usada como exemplo de irracionalidade se o enunciado explicar como os algarismos continuam. Sem uma regra de formação, não é possível concluir rigorosamente que o decimal não é periódico.
7. Exercícios resolvidos
Exercício 1
Classifique cada número como racional ou irracional:
a) 4,75 b) √81 c) √11 d) 0,101001000100001000001...
Considere, no item d, que os algarismos são formados pela concatenação dos blocos 1, 01, 001, 0001, 00001, ....
Resolução:
- a) 4,75 é racional, pois é um decimal finito.
- b) √81 = 9, portanto é racional.
- c) √11 é irracional, pois 11 não é quadrado perfeito.
- d) O número é irracional. A sequência é infinita e possui blocos de zeros cada vez maiores, separados por algarismos 1. Portanto, não pode existir um período fixo. Se houvesse um período de comprimento p, um bloco de zeros com comprimento maior que p impediria a repetição desse período. Logo, a representação é infinita e não periódica.
Exercício 2
Entre quais números inteiros consecutivos está √20?
Resolução:
Como 4² = 16 e 5² = 25, temos:
4 < √20 < 5
Uma aproximação é √20 ≈ 4,472, pois 4,472² é aproximadamente 20.
Exercício 3
Escreva 0,363636... como fração.
Resolução:
Seja x = 0,363636.... Como o período possui dois algarismos, multiplicamos por 100:
100x = 36,363636...
Subtraindo a primeira igualdade:
100x − x = 36,363636... − 0,363636...
99x = 36
x = 36/99 = 4/11
Logo, 0,363636... = 4/11.
8. Exercícios para praticar
- Classifique os números como racionais ou irracionais: −2,5, √16, √13, π e 0,818181....
- Escreva 2,04 na forma de fração irredutível.
- Determine entre quais inteiros consecutivos está √30.
- Considere o número 0,101001000100001000001..., formado pela concatenação dos blocos 1, 01, 001, 0001, 00001, .... Explique por que sua representação decimal não é periódica e conclua sua classificação.
- Ordene do menor para o maior: 1,4, √2, 1,5 e 3/2.
Gabarito conferido
- 1. −2,5: racional; √16 = 4: racional; √13: irracional; π: irracional; 0,818181...: racional.
- 2. 2,04 = 204/100 = 51/25.
- 3. Como 5² = 25 e 6² = 36, então 5 < √30 < 6. De fato, √30 ≈ 5,477.
- 4. A sequência contém blocos de zeros de comprimentos 1, 2, 3, 4, ... entre algarismos 1. Se existisse um período fixo de comprimento p, os zeros e os algarismos 1 teriam de se repetir com esse espaçamento. Porém, há blocos de zeros maiores que p, o que contradiz a periodicidade. A representação é infinita e não periódica; portanto, o número é irracional.
- 5. 1,4 < √2 < 1,5 = 3/2, pois 1,4² = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5².
9. Quiz rápido
- Todo número inteiro é racional? Sim. Qualquer inteiro n pode ser escrito como n/1.
- Todo número racional é inteiro? Não. Por exemplo, 1/2 é racional, mas não é inteiro.
- √100 é irracional? Não. √100 = 10.
- Uma dízima periódica é racional? Sim.
- Os números irracionais pertencem aos reais? Sim.
Síntese
- Números racionais podem ser escritos como fração de dois inteiros, com denominador diferente de zero.
- Todo decimal finito ou periódico é racional.
- Números irracionais têm representação decimal infinita e não periódica.
- Uma sequência decimal só pode ser classificada rigorosamente quando sua regra de formação está definida.
- Os números reais são formados pelos racionais e pelos irracionais.
- Para analisar uma raiz quadrada de número natural, verifique se o radicando é um quadrado perfeito.
- Todo número real pode ser associado a um ponto da reta numérica, mesmo quando sua localização é feita por aproximação.
- Neste texto, consideramos 0 pertencente a ℕ; outras convenções podem iniciar os naturais em 1.
Referências consultadas: Orientações Curriculares 2026 — Matemática — Ensino Médio — SEDU-ES, especialmente p. 12, consultado em 20 de outubro de 2026; Base Nacional Comum Curricular — Ministério da Educação; e OpenStax — The Real Numbers.
Referências para estudo
Conteúdo conferido com referências institucionais e educacionais.
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